根据题意，表示一个日期共需要6个数字。
如果表示2009年的全部日期，那么前两个表示年份的数字必然为09；中间的两个数字表示月份，（表示前10个月都必须用到0，与表示年份的数字相重复，排除；表示11月必须用到两个1，自身重复，排除），所以，中间的两个数字只能为12；最后的两个数字表示天数，要表示一个月中31天的每一天，其数字中必然含有0、１、2中的一个，从而必然与表示年份、月份的数字重复。由此可知，全年中六个数字都不同的日期一个也没有。
所以，正确选项是C