解析：

解法一：
设这个人在北京共待了n天，其中12天不下雨，那么n-12天下雨。
根据公式“上午待在旅馆的天数+下午待在旅馆的天数-上下午都待在旅馆的天数（就是下雨的天数）=总天数-上下午都不待在旅馆的天数（根据题意不存在这样的一天）”可得：
8+12-(n-12)=n-0，
解得n=16。
解法二：
设游客在京期间下雨天数为x。
因为他上午待在旅馆的8天中包括两部分：因下雨无法出去的天数(x)和因下午出去游玩而休息的天数(8-x)；
同理，下午待在旅馆的12天中包括两个部分：因下雨无法出去的部分(x)和因上午出去游玩而休息的部分(12-x)。
由题意可得：(8-x)+(12-x)=12
解得x=4，
所以一共在北京待了16天。
所以，选A。